[পূর্ব প্রকাশের পর]
গণিত ভাবনা পর্ব ১৪: কিছু তার দেখি আভা, কিছু পাই অনুমানে, কিছু তার বুঝি না রবীন্দ্রনাথ ঠাকুরের গান ‘আমি কান পেতে রই’। আমার অনেক অনেক প্রিয় এ গান। আমার জানা মতে আরো অনেকেরই। অসামান্য এ গানের প্রতিটি কথাই যেন মনে-মস্তিষ্কে সারাক্ষণ বেজে যেতে থাকে। কান পেতে রই মনের ভেতরে কাউকে খুঁজে যাওয়ার গান। মনের ভেতরে যে গোপনে বাস করে, তার উপস্থিতি খুঁজে পাওয়ার প্রচেষ্টার গান। অনেক যত্নে, নীরবে, নিভৃতে তাকে খুঁজে পাওয়ার এ চেষ্টা। রবীন্দ্রনাথ গানে তার পরিচয়ে বলেন, ‘কিছু তার দেখি আভা, কিছু পাই অনুমানে, কিছু তার বুঝি না বা’।
মানুষ তার স্বভাবগত কারণে খুঁজে পেয়েছিল ১, ২, ৩, ৪ করে প্রাকৃতিক সংখ্যাগুলো। কিন্তু সেই প্রাকৃতিক সংখ্যাগুলোই পিথাগোরাসের উপপাদ্যের সুবাদে জানান দিল সংখ্যাজগতের আশ্চর্য এক উপস্থিতির। আছে কিন্তু ধরা যায় না, ছোঁয়া যায় না, নাম্বার লাইনে চিহ্নিত করা যায় না, এমন এক রকমের সংখ্যা। সংখ্যাগুলোকে নাম দেয়া হলো ইর্যাশনাল বা অমূলদ সংখ্যা। ধ২, ধ৩, হলো এ সংখ্যাগুলোর উদাহরণ। এসব সংখ্যার বৈশিষ্ট্য হলো, এগুলোকে দুটি পূর্ণসংখ্যার ভাগফল হিসেবে দেখানো যায় না। দশমিকের পরে তাদের ঘরের সংখ্যা অসীম।
এ সংখ্যাগুলোর উদাহরণ পাওয়া গেছে কিন্তু এ সংখ্যাগুলো যে আসলে কোনগুলো? যেমন একটি নাম্বার লাইনের উপরে এ সংখ্যাগুলো আছে। কিন্তু এর মধ্যে কোন কোন সংখ্যা অমূলদ হবে তা কীভাবে বোঝা সম্ভব? পিথাগোরাসের উপপাদ্যের প্রায় দুই হাজার বছর পরে কার্ল গাউসের ছাত্র রিচার্ড ডেডেকিন্ডের মাধ্যমে এ অনুসন্ধানের সমাপ্তি ঘটে। ডেডেকিন্ডের পদ্ধতিকে বলা হয় ডেডেকিন্ড কাট। ডেডেকিন্ডের জন্ম ১৮৩১ সালে, মৃত্যু ১৯১৬, জাতিতে জার্মান।
সংখ্যার জগতে অমূলদ সংখ্যা ছাড়াও আছে মূলদ সংখ্যা, যাদের দুটি পূর্ণসংখ্যার ভগ্নাংশ হিসেবে দেখানো যায়। মূলদ সংখ্যা ও অমূলদ সংখ্যা মিলে হয় বাস্তব সংখ্যা। একটি নাম্বার লাইনের উপরে যে সংখ্যাগুলো আছে, তারা সব বাস্তব সংখ্যা। কিন্তু নাম্বার লাইনের উপরে বাস্তব সংখ্যাগুলোর মধ্যে কোনো গ্যাপ বা ব্যবধান কি আছে? ডেডেকিন্ড কাট দেখায় যে ব্যবধান নেই। নিচে বিষয়টা একটু বিস্তারিত দেখা যাক।
নাম্বার লাইনের উপরে অনুমান করি, একটি অতি সূক্ষ্ম ছুরি দিয়ে একটি কাটা দাগ দেয়া হলো, যা শুধু একটি বিন্দুর ওপর
